`:top

Ein `!Modul`! [] (Maskulinum, Plural: `*Moduln`* [], die Deklination ist ähnlich wie die von `*Konsul`*; von `F33f`_`[lateinisch`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Lateinisch]`_`f `*modulus`*, Verkleinerungsform von `*modus`*, „Maß“, „Einheit“) ist eine `F33f`_`[algebraische Struktur`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Algebraische_Struktur]`_`f, die eine Verallgemeinerung eines `F33f`_`[Vektorraums`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Vektorraum]`_`f darstellt.

Ähnlich wie bei `F33f`_`[Ringen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Ring_(Algebra)]`_`f wird je nach Teilgebiet und Lehrbuch unter einem Modul etwas Unterschiedliches verstanden. Ebenfalls leicht abweichend sind dann die Definitionen von Morphismen sowie Unter- und Oberstrukturen. Mathematisch ausgedrückt handelt es sich bei diesen unterschiedlichen Modulbegriffen um unterschiedliche `F33f`_`[Kategorien`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Kategorientheorie]`_`f.

>>Contents

• `F0af`_`[Moduln über einem kommutativen Ring mit Einselement`#moduln-ber-einem-kommutativen-ring-mit-einselement]`_`f

• `F0af`_`[Abelsche Gruppen`#abelsche-gruppen]`_`f

• `F0af`_`[Oberringe als Moduln`#oberringe-als-moduln]`_`f

• `F0af`_`[Vektorräume mit einer linearen Abbildung in sich selbst`#vektorr-ume-mit-einer-linearen-abbildung-in-sich-selbst]`_`f

• `F0af`_`[Ringideale`#ringideale]`_`f

• `F0af`_`[Moduln über einem beliebigen Ring`#moduln-ber-einem-beliebigen-ring]`_`f

• `F0af`_`[Alternative Definitionen`#alternative-definitionen]`_`f

• `F0af`_`[Bimoduln`#bimoduln]`_`f

• `F0af`_`[Wechsel des Rings`#wechsel-des-rings]`_`f

• `F0af`_`[Moduln über einer assoziativen Algebra`#moduln-ber-einer-assoziativen-algebra]`_`f

• `F0af`_`[Moduln über einer Lie-Algebra`#moduln-ber-einer-lie-algebra]`_`f

• `F0af`_`[Moduln über einer Gruppe`#moduln-ber-einer-gruppe]`_`f

• `F0af`_`[Siehe auch`#siehe-auch]`_`f

• `F0af`_`[Weblinks`#weblinks]`_`f

• `F0af`_`[Literatur`#literatur]`_`f

• `F0af`_`[Einzelnachweise und Anmerkungen`#einzelnachweise-und-anmerkungen]`_`f

-─

>>Moduln über einem kommutativen Ring mit Einselement

Ein `*Modul über einem kommutativen Ring`* ( R , + , ⋅ ⋅ ) {\\displaystyle (R,+,\\cdot )} oder kurz `* R {\\displaystyle R} -Modul`* ist eine additive `F33f`_`[abelsche Gruppe`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Abelsche_Gruppe]`_`f ( M , + ) {\\displaystyle (M,+)} zusammen mit einer Abbildung

R × × M → → M , ( r , m ) ↦ ↦ r ⋅ ⋅ m {\\displaystyle R\\times M\\to M,\\quad (r,m)\\mapsto r\\cdot m} (genannt Multiplikation mit Skalaren, Skalarmultiplikation`:cite-ref-1[`F5bf`_`[1`#cite-note-1]`_`f]),

so dass gilt:

r 1 ⋅ ⋅ ( r 2 ⋅ ⋅ m ) = ( r 1 ⋅ ⋅ r 2 ) ⋅ ⋅ m {\\displaystyle r_{1}\\cdot (r_{2}\\cdot m)=(r_{1}\\cdot r_{2})\\cdot m}

( r 1 + r 2 ) ⋅ ⋅ m = r 1 ⋅ ⋅ m + r 2 ⋅ ⋅ m {\\displaystyle (r_{1}+r_{2})\\cdot m=r_{1}\\cdot m+r_{2}\\cdot m}

r ⋅ ⋅ ( m 1 + m 2 ) = r ⋅ ⋅ m 1 + r ⋅ ⋅ m 2 {\\displaystyle r\\cdot (m_{1}+m_{2})=r\\cdot m_{1}+r\\cdot m_{2}}

Fordert man zusätzlich noch für ( R , + , ⋅ ⋅ ) {\\displaystyle (R,+,\\cdot )} ein Einselement 1 {\\displaystyle 1} mit

1 ⋅ ⋅ m = m {\\displaystyle 1\\cdot m=m} ,

so nennt man den R {\\displaystyle R} -Modul `*unitär`* (englisch: `*unital`*). Manche Autoren verlangen für Ringe grundsätzlich die Existenz eines Einselements, und dann ebenfalls für Moduln über Ringen.`:cite-ref-dummitfoote-2-0[`F5bf`_`[2`#cite-note-dummitfoote-2]`_`f] Ist R {\\displaystyle R} ein `F33f`_`[Körper`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Körper_(Algebra)]`_`f, bildet also zusätzlich ( R ∖ ∖ { 0 R } , ⋅ ⋅ ) {\\displaystyle (R\\backslash \\{0_{R}\\},\\,\\cdot )} eine abelsche Gruppe, so sind die unitären Moduln über R {\\displaystyle R} gerade die `F33f`_`[Vektorräume`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Vektorraum]`_`f über R {\\displaystyle R} .

Bemerkung: Der Begriff des Vektorraums ist also eigentlich überflüssig, da er ein Spezialfall des allgemeineren Begriffs des unitären Moduls ist. Tatsächlich ermöglicht aber die Zusatzbedingung, dass R {\\displaystyle R} ein Körper ist, so viele Ergebnisse, die in der allgemeinen Situation nicht richtig sind, dass es üblich ist, den Spezialfall durch einen eigenen Begriff vom allgemeinen Fall abzugrenzen.

Das Studium von Moduln über kommutativen Ringen ist Gegenstand der `F33f`_`[kommutativen Algebra`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Kommutative_Algebra]`_`f.

>>>Abelsche Gruppen

Jede additive abelsche Gruppe G {\\displaystyle G} ist auf eindeutige Weise ein unitärer Z {\\displaystyle \\mathbb {Z} } -Modul, d. h. ein unitärer Modul über dem kommutativen Ring der ganzen Zahlen. Sei m ∈ ∈ G {\\displaystyle m\\in G} . Wegen

1 ⋅ ⋅ m = m , 0 ⋅ ⋅ m = 0 {\\displaystyle 1\\cdot m=m,\\,0\\cdot m={\\mathfrak {0}}}

muss für k ∈ ∈ Z {\\displaystyle k\\in \\mathbb {Z} } mit k ≥ ≥ 0 {\\displaystyle k\\geq 0} gelten:

k ⋅ ⋅ m = ( 1 + ⋯ ⋯ + 1 ) ⏟ ⏟ k -mal ⋅ ⋅ m = m + ⋯ ⋯ + m ⏟ ⏟ k -mal {\\displaystyle k\\cdot m=\\underbrace {(1+\\dotsb +1)} _{k{\\text{-mal}}}\\cdot m=\\underbrace {m+\\dotsb +m} _{k{\\text{-mal}}}}

und analog:

( − − k ) ⋅ ⋅ m = − − ( m + ⋯ ⋯ + m ) ⏟ ⏟ k -mal {\\displaystyle (-k)\\cdot m=-\\underbrace {(m+\\dotsb +m)} _{k{\\text{-mal}}}} `:cite-ref-3[`F5bf`_`[3`#cite-note-3]`_`f]

Da diese einzig mögliche Verknüpfung aber die Modulaxiome erfüllt, folgt die Behauptung.`:cite-ref-4[`F5bf`_`[4`#cite-note-4]`_`f] Folgende Zahlenbereiche sind additive Gruppen und damit Z {\\displaystyle \\mathbb {Z} } -Moduln:

• die `F33f`_`[ganzen Zahlen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Ganze_Zahl]`_`f Z {\\displaystyle \\mathbb {Z} } selbst

• die `F33f`_`[rationalen Zahlen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Rationale_Zahl]`_`f Q {\\displaystyle \\mathbb {Q} }

• die `F33f`_`[reellen Zahlen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Reelle_Zahl]`_`f R {\\displaystyle \\mathbb {R} }

• die `F33f`_`[algebraischen Zahlen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Algebraische_Zahl]`_`f A {\\displaystyle \\mathbb {A} } bzw. A ∩ ∩ R {\\displaystyle \\mathbb {A} \\cap \\mathbb {R} }

• die `F33f`_`[komplexen Zahlen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Komplexe_Zahl]`_`f C {\\displaystyle \\mathbb {C} }

>>>Oberringe als Moduln

Ist ( S , + , ⋅ ⋅ ) {\\displaystyle (S,+,\\cdot )} ein `F33f`_`[Oberring`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Ring_(Algebra)]`_`f von ( R , + , ⋅ ⋅ ) {\\displaystyle (R,+,\\cdot )} , so ist ( S , + ) {\\displaystyle (S,+)} definitionsgemäß eine abelsche Gruppe.

Schränkt man die Ringmultiplikation von S {\\displaystyle S} auf die Menge R × × S {\\displaystyle R\\times S} ein, so definiert dies die nötige Skalarmultiplikation, um S {\\displaystyle S} in natürlicher Weise als Modul über R {\\displaystyle R} zu betrachten. Besitzen R {\\displaystyle R} und S {\\displaystyle S} dasselbe Einselement, so ist der Modul unitär.

Sind R {\\displaystyle R} und S {\\displaystyle S} sogar Körper, so spricht man in dieser Situation von einer `F33f`_`[Körpererweiterung`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Körpererweiterung]`_`f. Die Modulstruktur wird dann, wie oben beschrieben, zu einer Vektorraumstruktur. Die Betrachtung dieser Vektorraumstruktur ist ein unverzichtbares Hilfsmittel bei der Untersuchung von Körpererweiterungen.

Bemerkung: Die im vorherigen Kapitel genannten Zahlbereiche sind alle Oberringe von Z {\\displaystyle \\mathbb {Z} } , was ebenfalls zeigt, dass sie in natürlicher Weise Z {\\displaystyle \\mathbb {Z} } -Moduln sind.

>>>Vektorräume mit einer linearen Abbildung in sich selbst

Sei K [ X ] {\\displaystyle K[X]} der `F33f`_`[Polynomring`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Polynomring]`_`f über einem `F33f`_`[Körper`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Körper_(Algebra)]`_`f K {\\displaystyle K} . Dann entsprechen die K [ X ] {\\displaystyle K[X]} -Moduln eins-zu-eins den Paaren ( V , A ) {\\displaystyle (V,A)} bestehend aus einem K {\\displaystyle K} -Vektorraum V {\\displaystyle V} und einem `F33f`_`[Endomorphismus`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Endomorphismus]`_`f A {\\displaystyle A} auf V {\\displaystyle V} :

• Sei M {\\displaystyle M} ein K [ X ] {\\displaystyle K[X]} -Modul. Wir stellen fest, dass M {\\displaystyle M} auch ein K {\\displaystyle K} -Vektorraum ist, da K {\\displaystyle K} in K [ X ] {\\displaystyle K[X]} eingebettet ist. Sei V {\\displaystyle V} dieser Vektorraum. Das zu M {\\displaystyle M} gehörige Paar ist nun ( V , A ) {\\displaystyle (V,A)} , wobei A {\\displaystyle A} durch

V → → V , v ↦ ↦ X ⋅ ⋅ v . {\\displaystyle V\\to V,\\quad v\\mapsto X\\cdot v.}

gegeben ist.

• Zu einem Paar ( V , A ) {\\displaystyle (V,A)} definieren wir eine K [ X ] {\\displaystyle K[X]} -Modulstruktur durch

X ⋅ ⋅ v := A ( v ) {\\displaystyle X\\cdot v:=A(v)}

und setzen das K {\\displaystyle K} -linear auf K [ X ] {\\displaystyle K[X]} fort, d. h., für alle p ( X ) = a 0 + a 1 X + a 2 X 2 + ⋯ ⋯ + a n X n ∈ ∈ K [ X ] {\\displaystyle p(X)=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\\dotsb +a_{n}X^{n}\\in K[X]}

setzen wir p ( X ) ⋅ ⋅ v := ( p ( A ) ) ( v ) := a 0 ⋅ ⋅ v + a 1 ⋅ ⋅ A ( v ) + a 2 ⋅ ⋅ A 2 ( v ) + ⋯ ⋯ + a n ⋅ ⋅ A n ( v ) {\\displaystyle p(X)\\cdot v:=(p(A))(v):=a_{0}\\cdot v+a_{1}\\cdot A(v)+a_{2}\\cdot A^{2}(v)+\\dotsb +a_{n}\\cdot A^{n}(v)} .

>>>Ringideale

Jeder Ring ist ein Modul über sich selbst mit der Ringmultiplikation als Operation. Die Untermoduln entsprechen dann genau den `F33f`_`[Idealen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Ideal_(Ringtheorie)]`_`f von R {\\displaystyle R} (da R {\\displaystyle R} in diesem Abschnitt kommutativ ist, brauchen wir nicht zwischen Links- und Rechtsidealen zu unterscheiden).

>>Moduln über einem beliebigen Ring

Es sei ( R , + , ⋅ ⋅ ) {\\displaystyle (R,+,\\cdot )} ein `F33f`_`[Ring`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Ring_(Algebra)]`_`f. Ist dieser Ring nicht (unbedingt) kommutativ, so muss man zwischen Links- und Rechtsmoduln unterscheiden.

Ein R {\\displaystyle R} -`*Linksmodul`* ist eine `F33f`_`[abelsche Gruppe`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Abelsche_Gruppe]`_`f ( M , + ) {\\displaystyle (M,+)} zusammen mit einem Ring ( R , + , ⋅ ⋅ ) {\\displaystyle (R,+,\\cdot )} und einer Abbildung

R × × M → → M , ( r , m ) ↦ ↦ r ⋅ ⋅ m = r m , {\\displaystyle R\\times M\\to M,\\quad (r,m)\\mapsto r\\cdot m=rm,}

die in beiden Argumenten additiv ist, d. h. für alle r , r 1 , r 2 ∈ ∈ R , m , m 1 , m 2 ∈ ∈ M {\\displaystyle r,r_{1},r_{2}\\in R,\\,m,m_{1},m_{2}\\in M} gilt

• ( r 1 + r 2 ) ⋅ ⋅ m = r 1 ⋅ ⋅ m + r 2 ⋅ ⋅ m {\\displaystyle (r_{1}+r_{2})\\cdot m=r_{1}\\cdot m+r_{2}\\cdot m} und

• r ⋅ ⋅ ( m 1 + m 2 ) = r ⋅ ⋅ m 1 + r ⋅ ⋅ m 2 , {\\displaystyle r\\cdot (m_{1}+m_{2})=r\\cdot m_{1}+r\\cdot m_{2},}

und für die

• r 1 ⋅ ⋅ ( r 2 ⋅ ⋅ m ) = ( r 1 ⋅ ⋅ r 2 ) ⋅ ⋅ m {\\displaystyle r_{1}\\cdot (r_{2}\\cdot m)=(r_{1}\\cdot r_{2})\\cdot m} für alle r 1 , r 2 ∈ ∈ R , m ∈ ∈ M {\\displaystyle r_{1},r_{2}\\in R,\\ m\\in M}

gilt.

Wird vorausgesetzt, dass ( R , + , ⋅ ⋅ ) {\\displaystyle (R,+,\\cdot )} ein unitärer Ring mit einem Einselement 1 {\\displaystyle 1} ist, so fordert man meist auch, dass der R {\\displaystyle R} -Linksmodul `*unitär`* (englisch: `*unital`*) ist, d. h.

• 1 ⋅ ⋅ m = m {\\displaystyle 1\\cdot m=m} für alle m ∈ ∈ M {\\displaystyle m\\in M} .

Manche Autoren verlangen für Ringe und Moduln grundsätzlich die Existenz eines Einselements.`:cite-ref-dummitfoote-2-1[`F5bf`_`[2`#cite-note-dummitfoote-2]`_`f]

Ein `*Rechtsmodul`* wird ähnlich definiert, außer dass die Skalare des Rings von rechts auf die Elemente von M {\\displaystyle M} wirken:

Ein R {\\displaystyle R} -`*Rechtsmodul`* ist eine abelsche Gruppe M {\\displaystyle M} zusammen mit einer in beiden Argumenten additiven Abbildung

M × × R → → M , ( m , r ) ↦ ↦ m ⋅ ⋅ r = m r , {\\displaystyle M\\times R\\to M,\\quad (m,r)\\mapsto m\\cdot r=mr,}

so dass

( m ⋅ ⋅ r 1 ) ⋅ ⋅ r 2 = m ⋅ ⋅ ( r 1 ⋅ ⋅ r 2 ) {\\displaystyle (m\\cdot r_{1})\\cdot r_{2}=m\\cdot (r_{1}\\cdot r_{2})} für alle r 1 , r 2 ∈ ∈ R , m ∈ ∈ M . {\\displaystyle r_{1},r_{2}\\in R,\\ m\\in M.}

Ein Rechtsmodul über einem unitären Ring mit Einselement 1 {\\displaystyle 1} ist `*unitär`*, wenn

m ⋅ ⋅ 1 = m {\\displaystyle m\\cdot 1=m} für alle m ∈ ∈ M {\\displaystyle m\\in M} gilt.

Ist R {\\displaystyle R} `F33f`_`[kommutativ`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Kommutativ]`_`f, so stimmen die Begriffe Links- und Rechtsmodul (bis auf die Schreibweise) überein, und man spricht einfach von R {\\displaystyle R} -`*Moduln`*. Üblicherweise wird die obige Notation für Linksmoduln verwendet.

>>>Alternative Definitionen

• Ein R {\\displaystyle R} -Linksmodul ist eine abelsche Gruppe M {\\displaystyle M} zusammen mit einem (ggf. unitären) Ringhomomorphismus

R → → End Z ⁡ ⁡ ( M ) . {\\displaystyle R\\to \\operatorname {End} _{\\mathbb {Z} }(M).}

Dabei ist End Z ⁡ ⁡ ( M ) {\\displaystyle \\operatorname {End} _{\\mathbb {Z} }(M)} der Ring der `F33f`_`[Endomorphismen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Endomorphismus]`_`f von M {\\displaystyle M} mit der `F33f`_`[Verkettung`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Komposition_(Mathematik)]`_`f als Produkt: ( f 1 ⋅ ⋅ f 2 ) ( m ) := f 1 ( f 2 ( m ) ) {\\displaystyle (f_{1}\\cdot f_{2})(m):=f_{1}(f_{2}(m))} für f 1 , f 2 ∈ ∈ End Z ⁡ ⁡ ( M ) , m ∈ ∈ M . {\\displaystyle f_{1},f_{2}\\in \\operatorname {End} _{\\mathbb {Z} }(M),m\\in M.}

• Ein R {\\displaystyle R} -Rechtsmodul ist eine abelsche Gruppe M {\\displaystyle M} zusammen mit einem (ggf. unitären) Ringhomomorphismus

R → → ( End Z ⁡ ⁡ ( M ) ) o p . {\\displaystyle R\\to (\\operatorname {End} _{\\mathbb {Z} }(M))^{\\mathrm {op} }.}

Dabei sei ( End Z ⁡ ⁡ ( M ) ) o p {\\displaystyle (\\operatorname {End} _{\\mathbb {Z} }(M))^{\\mathrm {op} }} der `F33f`_`[Gegenring`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Gegenring]`_`f des Endomorphismenrings, das heißt der Ring der Endomorphismen von M {\\displaystyle M} mit der Rechtsverkettung als Produkt: ( f 1 ⋅ ⋅ f 2 ) ( m ) := f 2 ( f 1 ( m ) ) {\\displaystyle (f_{1}\\cdot f_{2})(m):=f_{2}(f_{1}(m))} für f 1 , f 2 ∈ ∈ ( End Z ⁡ ⁡ ( M ) ) o p , m ∈ ∈ M . {\\displaystyle f_{1},f_{2}\\in (\\operatorname {End} _{\\mathbb {Z} }(M))^{\\mathrm {op} },m\\in M.}

>>>Bimoduln

Es seien R {\\displaystyle R} und S {\\displaystyle S} Ringe. Dann ist ein R {\\displaystyle R} - S {\\displaystyle S} -Bimodul eine abelsche Gruppe M {\\displaystyle M} zusammen mit einer R {\\displaystyle R} -Linksmodul- und einer S {\\displaystyle S} -Rechtsmodulstruktur, so dass

( r ⋅ ⋅ m ) ⋅ ⋅ s = r ⋅ ⋅ ( m ⋅ ⋅ s ) {\\displaystyle (r\\cdot m)\\cdot s=r\\cdot (m\\cdot s)} für r ∈ ∈ R , m ∈ ∈ M , s ∈ ∈ S {\\displaystyle r\\in R,m\\in M,s\\in S}

gilt.

Für unitäre Ringe R {\\displaystyle R} und S {\\displaystyle S} lässt sich ein unitärer R {\\displaystyle R} - S {\\displaystyle S} -Bimodul (d. h. mit 1 R ⋅ ⋅ m = m ⋅ ⋅ 1 S = m {\\displaystyle 1_{R}\\cdot m=m\\cdot 1_{S}=m} für alle m ∈ ∈ M {\\displaystyle m\\in M} ) alternativ beschreiben als eine abelsche Gruppe M {\\displaystyle M} zusammen mit einem unitären Ringhomomorphismus

R ⊗ ⊗ Z S o p → → End Z ⁡ ⁡ M . {\\displaystyle R\\otimes _{\\mathbb {Z} }S^{\\mathrm {op} }\\to \\operatorname {End} _{\\mathbb {Z} }M.}

Das heißt: Ein unitärer R {\\displaystyle R} - S {\\displaystyle S} -Bimodul ist nichts anderes als ein unitärer R ⊗ ⊗ Z S o p {\\displaystyle R\\otimes _{\\mathbb {Z} }S^{\\mathrm {op} }} -Linksmodul.

>>Wechsel des Rings

R {\\displaystyle R} und S {\\displaystyle S} seien Ringe und ρ ρ : : S → → R {\\displaystyle \\rho \\colon S\\to R} sei ein Ringhomomorphismus. Für jeden R {\\displaystyle R} -Modul M {\\displaystyle M} definiert die Vorschrift

( s , m ) ↦ ↦ ρ ρ ( s ) m {\\displaystyle (s,m)\\mapsto \\rho (s)m}

eine S {\\displaystyle S} -Modulstruktur auf M {\\displaystyle M} , die die mit ρ ρ {\\displaystyle \\rho } und der R {\\displaystyle R} -Modulstruktur `*assoziierte`* genannt wird. Dieser S {\\displaystyle S} -Modul wird mit ρ ρ ∗ ∗ ( M ) {\\displaystyle \\rho _{*}(M)} oder mit M [ S ] {\\displaystyle M_{[S]}} bezeichnet. Ist insbesondere S {\\displaystyle S} ein `F33f`_`[Unterring`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Unterring]`_`f von R {\\displaystyle R} und ρ ρ {\\displaystyle \\rho } die kanonische Einbettung, dann wird ρ ρ ∗ ∗ ( M ) {\\displaystyle \\rho _{*}(M)} der durch Einschränkung der Skalare von R {\\displaystyle R} auf S {\\displaystyle S} erhaltene S {\\displaystyle S} -Modul genannt.

Ist N {\\displaystyle N} ein Untermodul von M {\\displaystyle M} , dann ist ρ ρ ∗ ∗ ( N ) {\\displaystyle \\rho _{*}(N)} ein Untermodul von ρ ρ ∗ ∗ ( M ) {\\displaystyle \\rho _{*}(M)} und ρ ρ ∗ ∗ ( M / N ) = ρ ρ ∗ ∗ ( M ) / ρ ρ ∗ ∗ ( N ) . {\\displaystyle \\rho _{*}(M/N)=\\rho _{*}(M)/\\rho _{*}(N).} `:cite-ref-5[`F5bf`_`[5`#cite-note-5]`_`f]

>>Moduln über einer assoziativen Algebra

Ist R {\\displaystyle R} ein kommutativer Ring und A {\\displaystyle A} eine `F33f`_`[assoziative R-Algebra`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Assoziative_Algebra]`_`f, so ist ein A {\\displaystyle A} -`*Linksmodul`* ein R {\\displaystyle R} -Modul M {\\displaystyle M} zusammen mit einem R {\\displaystyle R} -Modulhomomorphismus

A ⊗ ⊗ R M → → M , a ⊗ ⊗ m ↦ ↦ a m , {\\displaystyle A\\otimes _{R}M\\to M,\\quad a\\otimes m\\mapsto am,}

so dass

a 1 ( a 2 m ) = ( a 1 a 2 ) m {\\displaystyle a_{1}(a_{2}m)=(a_{1}a_{2})m} für a 1 , a 2 ∈ ∈ A , m ∈ ∈ M {\\displaystyle a_{1},a_{2}\\in A,m\\in M}

gilt.

Ein A {\\displaystyle A} -`*Rechtsmodul`* ist ein R {\\displaystyle R} -Modul M {\\displaystyle M} zusammen mit einem R {\\displaystyle R} -Modulhomomorphismus

M ⊗ ⊗ R A → → M , m ⊗ ⊗ a ↦ ↦ m a , {\\displaystyle M\\otimes _{R}A\\to M,\\quad m\\otimes a\\mapsto ma,}

so dass

( m a 1 ) a 2 = m ( a 1 a 2 ) {\\displaystyle (ma_{1})a_{2}=m(a_{1}a_{2})} für a 1 , a 2 ∈ ∈ A , m ∈ ∈ M {\\displaystyle a_{1},a_{2}\\in A,m\\in M}

gilt.

`*Unitäre`* Moduln und `*Bimoduln`* sind analog zum Fall der Ringe definiert.

>>Moduln über einer Lie-Algebra

Es sei g {\\displaystyle {\\mathfrak {g}}} eine `F33f`_`[Lie-Algebra`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Lie-Algebra]`_`f über einem `F33f`_`[Körper`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Körpertheorie]`_`f K {\\displaystyle K} . Ein g {\\displaystyle {\\mathfrak {g}}} -`*Modul`* oder eine `*Darstellung`* von g {\\displaystyle {\\mathfrak {g}}} ist ein K {\\displaystyle K} -Vektorraum M {\\displaystyle M} zusammen mit einer K {\\displaystyle K} -bilinearen Abbildung

g × × M → → M , ( X , m ) ↦ ↦ X ⋅ ⋅ m , {\\displaystyle {\\mathfrak {g}}\\times M\\to M,\\;(X,m)\\mapsto X\\cdot m,}

so dass

[ X , Y ] ⋅ ⋅ m = X ⋅ ⋅ ( Y ⋅ ⋅ m ) − − Y ⋅ ⋅ ( X ⋅ ⋅ m ) {\\displaystyle [X,Y]\\cdot m=X\\cdot (Y\\cdot m)-Y\\cdot (X\\cdot m)} für X , Y ∈ ∈ g , m ∈ ∈ M {\\displaystyle X,Y\\in {\\mathfrak {g}},m\\in M}

gilt.

Alternativ ist ein g {\\displaystyle {\\mathfrak {g}}} -Modul ein K {\\displaystyle K} -Vektorraum M {\\displaystyle M} zusammen mit einem Homomorphismus von Liealgebren über K {\\displaystyle K}

g → → g l ( M ) ; {\\displaystyle {\\mathfrak {g}}\\to {\\mathfrak {gl}}(M);}

dabei ist g l ( M ) {\\displaystyle {\\mathfrak {gl}}(M)} die K {\\displaystyle K} -Algebra der `F33f`_`[Endomorphismen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Endomorphismus]`_`f von M {\\displaystyle M} mit dem `F33f`_`[Kommutator`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Kommutator_(Mathematik)]`_`f als Lieklammer.

g {\\displaystyle {\\mathfrak {g}}} -Moduln sind dasselbe wie Moduln unter der `F33f`_`[universellen einhüllenden Algebra`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Universelle_einhüllende_Algebra]`_`f von g {\\displaystyle {\\mathfrak {g}}} .

>>Moduln über einer Gruppe

Es sei ( G , ∗ ∗ ) {\\displaystyle (G,*)} eine `F33f`_`[Gruppe`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Gruppe_(Mathematik)]`_`f. Ein `* G {\\displaystyle G} -Modul`* oder genauer `* G {\\displaystyle G} -Linksmodul`* ist eine abelsche Gruppe ( M , + ) {\\displaystyle (M,+)} zusammen mit einer `F33f`_`[äußeren zweistelligen Verknüpfung`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Zweistellige_Verknüpfung]`_`f

G × × M → → M , ( g , m ) ↦ ↦ g ⋅ ⋅ m {\\displaystyle G\\times M\\to M,\\;(g,m)\\mapsto g\\cdot m} ,

so dass

g ⋅ ⋅ ( m 1 + m 2 ) = g ⋅ ⋅ m 1 + g ⋅ ⋅ m 2 {\\displaystyle g\\cdot (m_{1}+m_{2})=g\\cdot m_{1}+g\\cdot m_{2}} für alle g ∈ ∈ G , m 1 , m 2 ∈ ∈ M {\\displaystyle g\\in G,m_{1},m_{2}\\in M}

und

( g 1 ∗ ∗ g 2 ) ⋅ ⋅ m = g 1 ⋅ ⋅ ( g 2 ⋅ ⋅ m ) {\\displaystyle (g_{1}*g_{2})\\cdot m=g_{1}\\cdot (g_{2}\\cdot m)} für alle g 1 , g 2 ∈ ∈ G , m ∈ ∈ M {\\displaystyle g_{1},g_{2}\\in G,m\\in M}

sowie

e ⋅ ⋅ m = m {\\displaystyle e\\cdot m=m} für das neutrale Element e {\\displaystyle e} von G {\\displaystyle G} und für alle m ∈ ∈ M {\\displaystyle m\\in M}

gilt.

Ein G {\\displaystyle G} -`*Rechtsmodul`* ist analog definiert; die zweite Bedingung ist durch

m ⋅ ⋅ ( g 1 ∗ ∗ g 2 ) = ( m ⋅ ⋅ g 1 ) ⋅ ⋅ g 2 {\\displaystyle m\\cdot (g_{1}*g_{2})=(m\\cdot g_{1})\\cdot g_{2}} für alle g 1 , g 2 ∈ ∈ G , m ∈ ∈ M {\\displaystyle g_{1},g_{2}\\in G,m\\in M}

zu ersetzen.

Alternativ dazu ist ein G {\\displaystyle G} -(Links-)Modul eine abelsche Gruppe ( M , + ) {\\displaystyle (M,+)} zusammen mit einem Gruppenhomomorphismus

G → → Aut Z ⁡ ⁡ ( M ) , {\\displaystyle G\\to \\operatorname {Aut} _{\\mathbb {Z} }(M),}

dabei ist Aut Z ⁡ ⁡ ( M ) = ( End Z ⁡ ⁡ ( M ) ) × × {\\displaystyle \\operatorname {Aut} _{\\mathbb {Z} }(M)=(\\operatorname {End} _{\\mathbb {Z} }(M))^{\\times }} die Gruppe der `F33f`_`[Automorphismen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Automorphismus]`_`f von M {\\displaystyle M} mit der Verknüpfung

( f 1 ∘ ∘ f 2 ) ( m ) = f 1 ( f 2 ( m ) ) {\\displaystyle (f_{1}\\circ f_{2})(m)=f_{1}(f_{2}(m))} für f 1 , f 2 ∈ ∈ Aut Z ⁡ ⁡ ( M ) , m ∈ ∈ M . {\\displaystyle f_{1},f_{2}\\in \\operatorname {Aut} _{\\mathbb {Z} }(M),m\\in M.}

Ein G {\\displaystyle G} -Rechtsmodul ist eine abelsche Gruppe ( M , + ) {\\displaystyle (M,+)} zusammen mit einem Gruppenhomomorphismus

G → → ( Aut Z ⁡ ⁡ ( M ) ) o p , {\\displaystyle G\\to (\\operatorname {Aut} _{\\mathbb {Z} }(M))^{\\mathrm {op} },}

das Produkt auf ( Aut Z ⁡ ⁡ ( M ) ) o p {\\displaystyle (\\operatorname {Aut} _{\\mathbb {Z} }(M))^{\\mathrm {op} }} ist durch

( f 1 ∙ ∙ f 2 ) ( m ) := f 2 ( f 1 ( m ) ) {\\displaystyle (f_{1}\\bullet f_{2})(m):=f_{2}(f_{1}(m))} für f 1 , f 2 ∈ ∈ ( Aut Z ⁡ ⁡ ( M ) ) o p , m ∈ ∈ M {\\displaystyle f_{1},f_{2}\\in (\\operatorname {Aut} _{\\mathbb {Z} }(M))^{\\mathrm {op} },m\\in M}

gegeben.

Ist R {\\displaystyle R} weiter ein Ring, so ist ein G {\\displaystyle G} - R {\\displaystyle R} -Modul eine abelsche Gruppe mit einer R {\\displaystyle R} -Modul- und einer G {\\displaystyle G} -Modulstruktur, die in dem folgenden Sinne kompatibel sind:

r ⋅ ⋅ ( g ⋅ ⋅ m ) = g ⋅ ⋅ ( r ⋅ ⋅ m ) {\\displaystyle r\\cdot (g\\cdot m)=g\\cdot (r\\cdot m)} für r ∈ ∈ R , g ∈ ∈ G , m ∈ ∈ M . {\\displaystyle r\\in R,g\\in G,m\\in M.}

Alternativ ist ein G {\\displaystyle G} - R {\\displaystyle R} -Modul ein R {\\displaystyle R} -Modul zusammen mit einem Gruppenhomomorphismus

G → → Aut R ⁡ ⁡ ( M ) , {\\displaystyle G\\to \\operatorname {Aut} _{R}(M),}

dabei ist G → → Aut R ⁡ ⁡ ( M ) {\\displaystyle G\\to \\operatorname {Aut} _{R}(M)} die Gruppe der Automorphismen von M {\\displaystyle M} als R {\\displaystyle R} -Modul.

G {\\displaystyle G} - R {\\displaystyle R} -Moduln sind dasselbe wie Moduln über dem `F33f`_`[Gruppenring`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Gruppenring]`_`f R [ G ] {\\displaystyle R[G]} .

Ist K {\\displaystyle K} speziell ein `F33f`_`[Körper`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Körpertheorie]`_`f, so stimmt der Begriff des G {\\displaystyle G} - K {\\displaystyle K} -Moduls mit dem der K {\\displaystyle K} -linearen `F33f`_`[Darstellung`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Darstellung_(Gruppe)]`_`f von G {\\displaystyle G} überein.

>>Siehe auch

• `F33f`_`[Basis (Modul)`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Basis_(Modul)]`_`f

• `F33f`_`[einfacher Modul`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Einfacher_Modul]`_`f

• `F33f`_`[freier Modul`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Freier_Modul]`_`f

• `F33f`_`[Moduln über Hauptidealringen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Hauptidealring]`_`f

• `F33f`_`[Untermodul`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Untermodul]`_`f

>>Weblinks

Wiktionary: Modul

– Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

>>Literatur

• `F33f`_`[Siegfried Bosch`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Siegfried_Bosch]`_`f: `*Algebra`*, 7. Auflage 2009, Springer-Verlag, ISBN 3-540-40388-4, doi:10.1007/978-3-540-92812-6.

• L.V. Kuz'min: Module. In: `F33f`_`[Michiel Hazewinkel`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Michiel_Hazewinkel]`_`f (Hrsg.): `F33f`_`[Encyclopedia of Mathematics`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Encyclopedia_of_Mathematics]`_`f. Springer-Verlag und `F33f`_`[EMS`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=European_Mathematical_Society]`_`f Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).

>>Einzelnachweise und Anmerkungen

`:cite-note-1`!1.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-1]`_`f nicht zu verwechseln mit `F33f`_`[Skalarprodukt`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Skalarprodukt]`_`f

`:cite-note-dummitfoote-2`!2.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-dummitfoote-2-0]`_`f David S. Dummit, Richard M. Foote: Abstract Algebra. John Wiley & Sons, Inc., Hoboken, NJ 2004, ISBN 978-0-471-43334-7.

`:cite-note-3`!3.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-3]`_`f Hier wurde die abelsche Gruppe additiv geschrieben.

`:cite-note-4`!4.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-4]`_`f Ein solcher Z {\\displaystyle \\mathbb {Z} } -Modul muss keine `F33f`_`[Basis`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Basis_(Modul)]`_`f haben, nämlich bei Moduln mit `F33f`_`[Torsionselementen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Torsion_(Algebra)]`_`f.

`:cite-note-5`!5.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-5]`_`f Nicolas Bourbaki: Elements of Mathematics, Algebra I, Chapters 1–3. 2. Auflage. Springer, 1998, ISBN 3-540-64243-9, § 3. `*Tensor products`*, 2., S. 221 (Internet Archive).

`c`F0af`_`[↑ Back to top`#top]`_`f`a